toancap3
14-11-2016, 08:21 PM
Chứng minh bất đẳng thức Chebyshev (http://toancap3.com/chung-minh-bat-dang-thuc-chebyshev/) với 3 số a, b, c
với a>b>c và x>y>z thì (a+b+c)(x+y+z)≤(ax+by+cz)
Bài giải:
Ta có: (a+b+c)(x+y+z) ≤ 3(ax+by+cz).
<=> ax + ay + az + bx + by + bz + cx + cy + cz ≤ 3(ax+by+cz).
<=> 2ax + 2by + 2cz - ay - az - bx - bz - cx - cy ≥ 0.
<=> (ax-ay-bx+by) + (by-bz-cy+cz) + (cz-cx-az+ax) ≥ 0.
<=> (a-b)(x-y) + (b-c)(y-z) + (c-a)(z-x) ≥ 0.
Đến đây theo giả thiết ta có điều phải chứng minh.Theo mình nghĩ giả thiết phải là a≥b≥c và x≥y≥z, nếu không thì bất đẳng thức Chebyshev (http://toancap3.com/chung-minh-bat-dang-thuc-chebyshev/) sẽ không có dấu bằng.
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c hoặc x=y=z.
Nếu (a;b;c) và (x;y;z) đơn điệu ngược chiều nhau, ví dụ như a≥b≥c và x≤y≤z thì dấu của bất đẳng thức Chebyshev (http://toancap3.com/chung-minh-bat-dang-thuc-chebyshev/) đổi chiều.
với a>b>c và x>y>z thì (a+b+c)(x+y+z)≤(ax+by+cz)
Bài giải:
Ta có: (a+b+c)(x+y+z) ≤ 3(ax+by+cz).
<=> ax + ay + az + bx + by + bz + cx + cy + cz ≤ 3(ax+by+cz).
<=> 2ax + 2by + 2cz - ay - az - bx - bz - cx - cy ≥ 0.
<=> (ax-ay-bx+by) + (by-bz-cy+cz) + (cz-cx-az+ax) ≥ 0.
<=> (a-b)(x-y) + (b-c)(y-z) + (c-a)(z-x) ≥ 0.
Đến đây theo giả thiết ta có điều phải chứng minh.Theo mình nghĩ giả thiết phải là a≥b≥c và x≥y≥z, nếu không thì bất đẳng thức Chebyshev (http://toancap3.com/chung-minh-bat-dang-thuc-chebyshev/) sẽ không có dấu bằng.
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c hoặc x=y=z.
Nếu (a;b;c) và (x;y;z) đơn điệu ngược chiều nhau, ví dụ như a≥b≥c và x≤y≤z thì dấu của bất đẳng thức Chebyshev (http://toancap3.com/chung-minh-bat-dang-thuc-chebyshev/) đổi chiều.